¿Por qué seguir haciendo ejercicios inútiles como calcular una raíz cuadrada a mano?
“¿Por qué debería aprender este aburrido algoritmo para calcular raíces cuadradas si una calculadora lo hace en un segundo?” Esta pregunta no es solo válida, sino que es completamente razonable. Y no, quien la hace no es un vago. Vamos a ser honestos: no tiene sentido práctico. ¿Por qué entonces te lo enseñan? Porque en el examen te van a quitar la calculadora, y la educación sigue empeñada en enseñarte cosas que nunca volverás a usar.
Aparte de aprobar un examen, el cálculo manual de una raíz cuadrada no te va a hacer más inteligente ni más hábil. Memorizar algoritmos y fórmulas no va a mejorar tu pensamiento crítico ni tu lógica, y mucho menos te será útil en la vida diaria. De hecho, la mayor parte de las cosas que aprendes en secundaria no sirven para nada en el mundo real.
Entonces, ¿por qué seguimos haciendo estos ejercicios inútiles? La respuesta es simple: están ahí para enseñarte otra cosa. No sobre matemáticas, sino sobre la vida. Aprender a resolver estos problemas tediosos te obliga a organizarte, a ser constante y a enfrentar retos. ¿Es eso útil? Sí. ¿Podríamos obtener lo mismo resolviendo acertijos o puzles mucho más divertidos? Totalmente.
Pero aquí es donde entra tu creatividad. Puedes transformar estas tareas monótonas en algo que realmente valga la pena si decides hacerlo. Por ejemplo, hablemos de derivadas. En lugar de memorizar fórmulas de un libro, vamos a hacer algo diferente: vamos a derivar sin fórmulas.
Derivadas sin fórmulas
Normalmente, derivar implica memorizar largas listas de fórmulas. Seguro que recuerdas esa página aburrida de tu libro de segundo de bachillerato. Hoy, vamos a hacer algo distinto: vamos a derivar sin usar fórmulas. No vamos a derivar todas las funciones típicas de este curso, pero las que no vamos a derivar, te reto a que lo intentes de todas formas. ¿Listo?
1. Definición: ¿Qué es una derivada?
La derivada es simplemente una manera de medir cómo cambia una función f(x) a medida que cambia la variable x. Es básicamente lo que llamamos "velocidad". Te dice lo rápido que una función crece o decrece en un punto específico.
2. Ejemplos simples
a) Función constante
Consideremos f(x)=3, una función constante. No importa cuánto cambie x, la función siempre vale 3. ¿Conclusión? La derivada es cero, porque no hay cambios.
b) Función lineal
Tomemos algo más interesante, como f(x)=2x+3. Esta función crece con una "velocidad" constante de 2. Es decir, por cada cambio en x, la función aumenta el doble. Este número, 2, es la derivada.
Pregunta provocativa: ¿Y si te dijera que, con la derivada, podrías reducir una función compleja a una simple recta en un punto? La recta que obtienes se llama tangente, y su pendiente es la derivada de esta función compleja en este punto. Así de poderoso es este concepto.
c) Producto de una constante por una función
¿Qué pasa si multiplicas una función por una constante? Si tienes c⋅f(x), la constante solo afecta a f(x), pero no a x. La derivada simplemente será constante c multiplicado por la derivada de f(x). Más fácil de lo que parece, ¿verdad?
d) Potencias de xxx
Finalmente, pensemos en algo como f(x)= xn
Para n=0 f(x)=1, lo que es una constante, y su derivada es 0.
Para n=1 f(x)=x, y la función crece con una velocidad constante de 1.
Pero cuando llegamos a n=2, las cosas se complican un poco. f(x)=x2 es una parábola, y su velocidad de crecimiento no es constante. ¿Cómo varía entonces?
Te dejo esta pregunta para que la pienses y vamos a intentar responderla la próxima vez. Pero hasta ahora, todo lo que hemos visto tiene sentido, y lo hemos hecho sin depender de fórmulas. Este es el poder de entender de verdad lo que estás haciendo, en lugar de simplemente memorizar reglas.