Seguramente te hayas encontrados con distintas situaciones a la hora de resolver una ecuación. O lo que es peor, has resuelto la ecuación y al final has llegado a una conclusión que no puedes comprender o descifrar, expresiones del tipo 0=0, o 0=-4, donde la x desparece de la ecuación, porque los términos que llevan x terminan desapareciendo al hacer operaciones dentro de la ecuación.
¿Qué ocurre con la solución de la ecuación en estos casos? Vamos a estudiar las tres situaciones a las que te puedes enfrentar: que la ecuación tenga una sola solución, que tenga inifinitas o que no tenga solución.
Ecuaciones con una única solución
El caso más habitual son las ecuaciones con una única solución. En este caso, cuando resolvemos la ecuación, conseguimos encontrar un único valor de x que cumple la condición expuesta en la ecuación. Un ejemplo de este caso sería la siguiente:
x-4=8
Esta ecuación tiene como solución a x=12. Es decir, solamente existe un valor para x en el que se cumple la igualdad x-4=8. Podemos comprobarlo sustituyendo en la x de la ecuación, un 12, de tal forma que quedaría algo así:
12-4=8
Aquí podemos ver que a los dos lados del igual queda el mismo valor, 12-4 vale 8, y eso es igual a 8, por lo que la igualdad se cumple. Además sabemos que 12 es la única solución de esta ecuación, porque si sustituyéramos cualquier otro valor, la igualdad no se cumpliría. Puedes probar con el número que quieras, sustituyendo en x. Vamos a probar con el 5:
5-4=8
Esa igualdad no es cierta, ya que 5-4 vale 1, y eso no es igual a 8. Por lo tanto 5 no es solución de la ecuación.
Ecuaciones con infinitas soluciones
El segundo caso que vamos a estudiar es aquel en el que la ecuación tiene infinitas soluciones. En este caso, cuando resolvemos la ecuación, nos encontraremos con una igualdad que se cumple siempre, por lo que asumiremos que hay infinitos valores de x que cumplen la condición expuesta en la ecuación. Un ejemplo de este caso sería la siguiente:
(2x-4)/2=x-2
Al intentar resolver esta ecuación, obtenemos a ambos lados del igual 2x-4, es decir, que la ecuación queda como 2x-4=2x-4. Esto quiere decir, que la igualdad se cumple siempre para cualquier valor de x, porque a los dos lados del igual queda la misma expresión. De hecho, si intentamos resolverla pasando lo que tiene x a la izquierda, y lo que no a la derecha, nos quedaría 2x-2x=4-4, o lo que es lo mismo 0=0. 0 vale siempre 0, luego esta igualdad se cumple siempre, no importa el valor que coloquemos en x. Podemos comprobarlo sustituyendo en la x de la ecuación un número, el que quieras, de tal forma que quedaría algo así, (por ejemplo con el 1):
(2*1-4)/2=1-2 ; (2-4)/2=-1; (-2)/2=-1; -1=-1
Aquí podemos ver que a los dos lados del igual queda el mismo valor, -1 es igual a -1, por lo que la igualdad se cumple. Además sabemos que hay infinitas soluciones para esta ecuación, porque si sustituyéramos cualquier otro valor, la igualdad se cumpliría. Puedes probar con el número que quieras, sustituyendo en x.
Ecuaciones sin solución
El último caso que vamos a estudiar es aquel en el que la ecuación no tiene solución. En este caso, cuando resolvemos la ecuación, nos encontraremos con una igualdad que no cumple nunca, por lo que asumiremos que no hay valores de x que cumplen la condición expuesta en la ecuación. Un ejemplo de este caso sería la siguiente:
2x-4=2x-3
Al intentar resolver esta ecuación, pasando lo que tiene x a la izquierda, y lo que no a la derecha, nos quedaría 2x-2x=-3+4, o lo que es lo mismo 0=1. 0 nunca vale 1, luego esta igualdad no se cumple nunca, no importa el valor que coloquemos en x. Podemos comprobarlo sustituyendo en la x de la ecuación un número, el que quieras, por ejemplo el 2:
2*2-4=2*2-3 ; 4-4=4-3; 0=1
La igualdad no se cumple.
Si además probáramos con cualquier otro número, como por ejemplo el 1, llegaríamos a la siguiente conclusión:
2*1-4=2*1-3; 2-4=2-3; -2=-1;
En este caso, -2 nunca vale -1, luego para el valor de x=1, la ecuación tampoco tiene solución. Y así ocurriría con cualquier valor que quisiéramos probar o sustituir en x dentro de esta ecuación.
Hasta aquí los 3 posibles casos a la hora de resolver una ecuación.
Para que sigas practicando te dejo una serie de ejemplos que puedes poner en práctica, en los que tendrás que descifrar si la ecuación tiene una, ninguna o infinitas soluciones:
2x-3=8;
4x-2=(8x-4)/2;
4x-3=(8x-5)/2;
