Geometría analítica: ¿Qué es y que estudia?

El estudio de las matemáticas ha permitido a la humanidad poder analizar y darle sentido a una gran variedad de fenómenos y conceptos a lo largo de la historia.

Es una ciencia hermosa que permite describir el mundo que nos rodea, y nos brinda la capacidad de entender mejor todo. 

En este sentido, hay una gran variedad de ramas que se derivan de ella, y una de esas es la geometría analítica.

Ciertas carreras estudian la geometría del plano y una serie de fórmulas en esta materia, pero, al ser un poco compleja, es probable que muchos estudiantes no entiendan muy bien de lo que se trata.

En ese caso, es importante estudiar bien qué es la geometría analítica, así como su historia y aplicaciones para tener una visión general acerca de la importancia del estudio de esta rama de las matemáticas.

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¿Qué es la geometría analítica?

En la geometría analítica, básicamente se estudian los cuerpos o figuras geométricas utilizando un sistema de coordenadas y aplicando técnicas básicas de análisis matemático y de álgebra.

De manera que se podría decir que la geometría analítica es una combinación de la geometría con el álgebra. 

Fue desarrollada por René Descartes, un filósofo y matemático francés, junto con Pierre Fermat en el año de 1637.

Ambos científicos descubrieron que ciertas figuras geométricas se podían expresar como ecuaciones, y a su vez, las ecuaciones algebraicas podían ser graficadas como líneas o figuras geométricas, por lo que obtuvieron las correspondientes formulas en geometría.

Por lo tanto, el objetivo principal de la geometría analítica es que los problemas geométricos se puedan expresar de manera analítica, es decir, utilizando fórmulas algebraicas. De igual manera, el plantear problemas algebraicos por medio de una interpretación geométrica. 

Así que para poder estudiar esta manera es importante que el alumno tenga un amplio conocimiento de las herramientas del álgebra, vector paralelos, ecuaciones y más para aplicar a una fórmula de geometría. 

¿Qué estudia la geometría analítica?

Por medio de la geometría analítica es posible hacer diferentes análisis, como los siguientes:

• Trazar puntos en el plano cartesiano y en el espacio de segmentos, rectas, superficies y curvas
• Clasificar superficies, curvas y volúmenes
• Resolver problemas geométricos aplicando métodos algebraicos, al deducir fórmulas como distancia entre puntos, ecuaciones, y más.
• Trabajar con espacios vectoriales
• Obtener formulas fundamentales para el estudio de problemas relacionados con planos, rectas, distancias, paralelismo, áreas, intersecciones y más.

¿Cuáles son las aplicaciones de la geometría analítica?

Para poder comprender mejor una materia, siempre es bueno conocer cuáles son sus aplicaciones. De esta manera ya no se ve como algo abstracto que está en el cuaderno, sino como un concepto que se puede utilizar de manera real.

Muchos quizás no lo saben, pero la geometría analítica es una herramienta muy útil para la humanidad, ya que se ha utilizado en las siguientes áreas:

• Fabricación de puentes colgantes: desde tiempos antiguos se han estado fabricando puentes colgantes, y en este caso se aplica el principio geométrico de la parábola para su análisis.
• Observación astronómica: Johannes Kepler, un científico que nació a finales del siglo XVI, dedujo utilizando cálculos fundamentados en la geometría analítica que los cuerpos celestes orbitan en una trayectoria que describe una elipse, y no una circunferencia, como habían planteado algunos científicos anteriores a él. 
• Cálculo infinitesimal: la geometría analítica es la base para este estudio porque permite representar curvas y funciones de manera gráfica y trabajar analíticamente.
• Diseño de antenas parabólicas: las antenas parabólicas tienen forma de un paraboloide, y por medio de la geometría analítica se pueden diseñar fácilmente para que cumplan su propósito. 

De manera que la geometría analítica es un estudio fundamental, que todo estudiante debe dominar, particularmente aquellos que trabajan en el área de la arquitectura y construcciones civiles o los astrónomos que estudian trayectorias de cuerpos celestes. 

Fórmulas de la geometría analítica

La geometría analítica fue un descubrimiento novedoso, y todavía sigue siendo fascinante, ya que permite resolver fácilmente ecuaciones algebraicas o problemas geométricos. 

Sin embargo, para que un estudiante pueda comprender mejor esta materia, es necesario conocer las fórmulas básicas y estudiar varios ejemplos que le permitan visualizar mejor los conceptos.

De manera que se tienen varias ecuaciones y ejemplos dependiendo de las diferentes figuras geométricas:

Recta

Una recta en el plano de coordenadas se puede definir como una ecuación de primer grado, como la siguiente:

y = mx+b

En este caso, cada variable se refiere a lo siguiente:

Y: coordenada en el eje de las ordenadas (vertical)

X: coordenada en el eje de las abscisas (horizontal)

M: pendiente de la recta (inclinación)

Por lo tanto, al asignarle un valor a cada variable es posible saber si dos rectas son paralelas, si se cruzan en algún punto, u otro.

Circulo

Es posible describir la figura geométrica del círculo utilizando una ecuación de segundo grado, como la siguiente:

(x-a)2 + (y-b)2 = r2

En este caso, el radio del círculo es r, mientras que cualquiera de los puntos de la circunferencia de la figura se encuentra en la coordenada (x,y).

Elipse

Una elipse es una línea curva cerrada, mejor definida como una circunferencia achatada. Se puede describir fácilmente en el plano cartesiano por medio de la siguiente ecuación:

(x2/a2) + (y2/b2) = 1

Parábola

Un último ejemplo que se puede mencionar es el de la parábola, que se puede representar por la siguiente ecuación:

Y= ax2 + bx + c

En este caso, el valor de “a” se utiliza para predecir la anchura del gráfico, ya que mientras más lejos de cero entonces más angosto será. De igual manera, una parábola con un valor positivo de “a” abre hacia arriba, mientras que con un valor negativo, abre hacia abajo.