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Las ecuaciones diferenciales y sus diferentes aplicaciones

01.11.2022

Las ecuaciones diferenciales y sus diferentes aplicaciones
Educación escolar
  1. ¿Qué son las ecuaciones diferenciales?
  2. ¿Cómo se clasifican las ecuaciones diferenciales?
  3. Solución de una ecuación diferencial
  4. Ecuaciones diferenciales ejemplos
  5. ¿Por qué estudiar ecuaciones diferenciales?
  6. Las matemáticas son un área muy importante en diferentes carreras, ya que se utilicen en diversos sectores laborales. 

    Dentro de las matemáticas, hay una variedad de conceptos que se deben manejar, y entre ellos están las ecuaciones diferenciales. Para muchos estudiantes, las diferenciales ecuaciones pueden ser confusas al principio y puede que les cueste un poco entenderlas.

    Pero, es importante comprender bien todo acerca de ellas porque se utilizan en muchas materias de la ingeniería. De manera que, si todavía no las dominas, entonces lo mejor que puedes hacer es buscar un profesor privado que te enseñe. 

    En Busca Tu Profesor encontrarás el mejor tutor para que entiendas mucho más acerca de las ecuaciones diferenciales. Así podrás comprender mucho mejor este concepto tan importante para las diferentes áreas de la ingeniería.

    ¿Qué son las ecuaciones diferenciales?

    Las ecuaciones diferenciales están compuestas por derivadas o diferenciales, las cuales son parte de una función. De manera que, en una ecuación diferencial, las derivadas de la función están involucradas con la propia función, así como con otras variables de las que depende. 

    En términos más sencillos, una ecuación donde hay derivadas de una o más funciones respecto a una o más variables independientes es conocida como una ecuación diferencial (ED).

    ¿Cómo se clasifican las ecuaciones diferenciales?

    Estas ecuaciones se clasifican en varios tipos dependiendo de su orden, tipo y linealidad. 

    De acuerdo con el tipo, las ecuaciones diferenciales se clasifican en las siguientes:

    • Ecuación diferencial ordinaria (EDO): esta solo está compuesta por derivadas ordinarias, es decir una o varias funciones de una sola variable independiente. 
    • Ecuación diferencial parcial (EDP): está compuesta por derivadas parciales, es decir, aquellas que tienen una o más funciones con dos o más variables independientes.

    En cuanto al grado, las ecuaciones diferenciales se clasifican dependiendo del exponente del mayor orden de la derivada en la ecuación. No obstante, por lo general se estudian las ecuaciones de primer orden y de segundo orden, mientras que las de orden superior son consideradas más avanzadas.

    Mientras que el orden de la ecuación diferencial se determina por el orden mayor de la derivada. 

    Con relación a la linealidad en ecuaciones diferenciales, están las ecuaciones lineales y no lineales. Para que una ecuación diferencial sea considerada lineal, debe cumplir con las siguientes características:

    • Todas las derivadas y variables dependientes de la ecuación deben tener un exponente igual a 1
    • Los coeficientes solo deben involucrar a la variable independiente.

    Si la ecuación diferencial no cumple con ninguna de estas condiciones, entonces es considerada como una ecuación diferencial no lineal. 

    Las ecuaciones diferenciales y sus diferentes aplicaciones

    Es importante conocer todos estos factores acerca de una ecuación diferencial, porque esto permitirá entender cómo se solucionan.

    Solución de una ecuación diferencial

    Aunque se puede utilizar una calculadora de ecuaciones diferenciales para obtener una solución, siempre es bueno conocer los pasos que se deben seguir para resolver este tipo de ecuaciones.

    La solución de una ecuación diferencial puede ser implícita o explícita, y es sabido que puede tener un número infinito de soluciones. 

    De forma sencilla, resolver una ecuación diferencial es encontrar esa función desconocida que se puede sustituir en dicha ecuación y obtener una igualdad. 

    Lo importante a tener en cuenta para resolver las ecuaciones diferenciales es que primero debemos saber cómo clasificarlas. 

    Luego, es posible aplicar cualquiera de los métodos existentes, siempre y cuando la ecuación lo permita, y dependiendo de cómo esté formulado el problema.

    Hay algunas ecuaciones diferenciales que se pueden resolver por medio del método de separación de variables, que es muy conocido en el área de las matemáticas.

    Pero, es también necesario saber que hay algunas ecuaciones diferenciales que no tienen solución, e incluso aquellas que si la tienen puede que no sea cerrada. 

    De manera que es crucial primero entender bien cómo clasificar a la ecuación diferencial antes de tratar de resolverla. Por eso es por lo que es importante conseguir un tutor particular que te pueda ayudar a manejar esta clase de conceptos que pueden ser abrumadores, pero que es esencial que domines si vas a especializarte en ingeniería, fisicoquímica, o cualquier otra carrera que las utilice como herramienta de análisis.

    Ecuaciones diferenciales ejemplos

    Para poder comprender mejor lo que es una ecuación diferencial y sus diferentes tipos, así como los diferentes pasos que se pueden aplicar para resolverla, siempre es bueno considerar los diversos ejemplos que existen.

    En este sentido, aquí tenemos algunos ejemplos de ecuaciones diferenciales:

    Ecuación diferencial ordinaria

    Las ecuaciones diferenciales y sus diferentes aplicaciones

    En esta ecuación, la variable independiente es “x” mientras que la variable dependiente es ”y”

    Para resolver este tipo de ecuación diferencial, se utiliza un método para encontrar la función primitiva de dicha ecuación. Esta función carece de derivadas, y al sustituirse debe dar una igualdad.

    Para esto se integra la función:

    Las ecuaciones diferenciales y sus diferentes aplicaciones 

    Y se obtiene el siguiente resultado:

    Las ecuaciones diferenciales y sus diferentes aplicaciones

    Luego, obtenemos la solución general (por c):

    Las ecuaciones diferenciales y sus diferentes aplicaciones

    Al sustituir dicha expresión en la variable dependiente “y” se puede verificar que satisface la ecuación diferencial.

    Ecuación diferencial parcial

    Una ecuación diferencial parcial se puede reconocer de la siguiente manera:

    Las ecuaciones diferenciales y sus diferentes aplicaciones

    En este caso, las variables independientes son “x” y “y”, mientras que la variable dependiente es V.

    ¿Por qué estudiar ecuaciones diferenciales?

    Si piensas que el estudio de las ecuaciones diferenciales es muy complicado, necesitas comprender la gran utilidad que tienen éstas como herramienta en diferentes áreas. 

    No solo son muy importantes en la ingeniería, donde son empleadas con mucha frecuencia en una infinidad de aplicaciones, sino que también son frecuentes en la física, biología, e incluso en la economía.

    En la termodinámica son una parte fundamental ya que con ellas se estudian las relaciones fundamentales entre las diferentes variables energéticas, mientras que en la ingeniería química se utilizan para el diseño de controladores de procesos.

    Las ecuaciones diferenciales son muy útiles para formular fenómenos reales complejos, y que luego permiten predecir comportamientos futuros.

    Por lo tanto, las ecuaciones diferenciales son de gran valor ya que todas estas ciencias pasaron de ser empíricas a descriptivas y predictiva gracias a la formulación de esta clase de ecuaciones.

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¿Qué son las ecuaciones diferenciales?

Las ecuaciones diferenciales están compuestas por derivadas o diferenciales, las cuales son parte de una función. De manera que, en una ecuación diferencial, las derivadas de la función están involucradas con la propia función, así como con otras variables de las que depende.Leer más en Busca Tu Profesor

¿Cómo se clasifican las ecuaciones diferenciales?

Estas ecuaciones se clasifican en varios tipos dependiendo de su orden, tipo y linealidad. De acuerdo con el tipo, las ecuaciones diferenciales se clasifican en las siguientes: Leer más en Busca Tu Profesor

¿Por qué estudiar ecuaciones diferenciales?

Si piensas que el estudio de las ecuaciones diferenciales es muy complicado, necesitas comprender la gran utilidad que tienen éstas como herramienta en diferentes áreas.Leer más en Busca Tu Profesor